摩尔投票算法也可以叫做多数投票算法，是在 leetcode 169（Majority Element）题目中涉及到的算法。

题目介绍

给定一个大小为 n 的数组，找到其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。（你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素）

算法实现

思路

如果我们把众数记为 +1，把其他数记为 -1，将它们全部加起来，显然和大于 0，从结果本身我们可以看出众数比其他数多。

算法

Boyer-Moore 算法的本质和分治法十分类似。我们首先给出 Boyer-Moore 算法的详细步骤：

我们维护一个候选众数 candidate 和它出现的次数 count。初始时 candidate 可以为任意值，count 为 0；
我们遍历数组 nums 中的所有元素，对于每个元素 x，在判断 x 之前，如果 count 的值为 0，我们先将 x 的值赋予 candidate，随后我们判断 x：
如果 x 与 candidate 相等，那么计数器 count 的值增加 1；
如果 x 与 candidate 不等，那么计数器 count 的值减少 1。
在遍历完成后，candidate 即为整个数组的众数。

我们举一个具体的例子，例如下面的这个数组：

1	[7, 7, 5, 7, 5, 1 \| 5, 7 \| 5, 5, 7, 7 \| 7, 7, 7, 7]

在遍历到数组中的第一个元素以及每个在 | 之后的元素时，candidate 都会因为 count 的值变为 0 而发生改变。最后一次 candidate 的值从 5 变为 7，也就是这个数组中的众数。

Boyer-Moore 算法的正确性较难证明，这里给出一种较为详细的用例子辅助证明的思路，供读者参考：

首先我们根据算法步骤中对 count 的定义，可以发现：在对整个数组进行遍历的过程中，count 的值一定非负。这是因为如果 count 的值为 0，那么在这一轮遍历的开始时刻，我们会将 x 的值赋予 candidate 并在接下来的一步中将 count 的值增加 1。因此 count 的值在遍历的过程中一直保持非负。

那么 count 本身除了计数器之外，还有什么更深层次的意义呢？我们还是以数组

1	[7, 7, 5, 7, 5, 1 \| 5, 7 \| 5, 5, 7, 7 \| 7, 7, 7, 7]

作为例子，首先写下它在每一步遍历时 candidate 和 count 的值：

1
2
3

nums:      [7, 7, 5, 7, 5, 1 | 5, 7 | 5, 5, 7, 7 | 7, 7, 7, 7]
candidate:  7  7  7  7  7  7   5  5   5  5  5  5   7  7  7  7
count:      1  2  1  2  1  0   1  0   1  2  1  0   1  2  3  4

我们再定义一个变量 value，它和真正的众数 maj 绑定。在每一步遍历时，如果当前的数 x 和 maj 相等，那么 value 的值加 1，否则减 1。value 的实际意义即为：到当前的这一步遍历为止，众数出现的次数比非众数多出了多少次。我们将 value 的值也写在下方：

1 2	nums: [7, 7, 5, 7, 5, 1 \| 5, 7 \| 5, 5, 7, 7 \| 7, 7, 7, 7] value: 1 2 1 2 1 0 -1 0 -1 -2 -1 0 1 2 3 4

有没有发现什么？我们将 count 和 value 放在一起：

1
2
3

nums:      [7, 7, 5, 7, 5, 1 | 5, 7 | 5, 5, 7, 7 | 7, 7, 7, 7]
count:      1  2  1  2  1  0   1  0   1  2  1  0   1  2  3  4
value:      1  2  1  2  1  0  -1  0  -1 -2 -1  0   1  2  3  4

发现在每一步遍历中，count 和 value 要么相等，要么互为相反数！并且在候选众数 candidate 就是 maj 时，它们相等，candidate 是其它的数时，它们互为相反数！

为什么会有这么奇妙的性质呢？这并不难证明：我们将候选众数 candidate 保持不变的连续的遍历称为「一段」。在同一段中，count 的值是根据 candidate == x 的判断进行加减的。那么如果 candidate 恰好为 maj，那么在这一段中，count 和 value 的变化是同步的；如果 candidate 不为 maj，那么在这一段中 count 和 value 的变化是相反的。因此就有了这样一个奇妙的性质。

这样以来，由于：

我们证明了 count 的值一直为非负，在最后一步遍历结束后也是如此；

由于 value 的值与真正的众数 maj 绑定，并且它表示「众数出现的次数比非众数多出了多少次」，那么在最后一步遍历结束后，value 的值为正数；

在最后一步遍历结束后，count 非负，value 为正数，所以它们不可能互为相反数，只可能相等，即 count == value。因此在最后「一段」中，count 的 value 的变化是同步的，也就是说，candidate 中存储的候选众数就是真正的众数 maj。

class Solution {
    public int majorityElement(int[] nums) {
        int count = 0;
        Integer candidate = null;

        for (int num : nums) {
            if (count == 0) {
                candidate = num;
            }
            count += (num == candidate) ? 1 : -1;
        }

        return candidate;
    }
}

复杂度分析

时间复杂度：O(n)。Boyer-Moore 算法只对数组进行了一次遍历。
空间复杂度：O(1)。Boyer-Moore 算法只需要常数级别的额外空间。

参考：

LeetCode官方题解